The Bayesian approach (Kapitel 12)

A.F. Chalmers

Bayesianska Teorem

Bayesianer är de, en grupp av filosofer, som tycker att något i vetenskapsvärlden har gått snett och har försökt att sätta detta till rätta. De kallas för Bayesianer eftersom deras synsätt är baserat på ett teorem i sannolikhetens teori, bevisad av den brittiska matematiker Thomas Bayes (1706 –1761)[1]. Bayes Teorem är en matematisk formel, den används för att beräkna betingasannolikhet (conditional probability). Denna sannolikhet avser sannolikheten för en händelse (B) under förutsättningen (betingelsen) att händelsen A har inträffat. Detta betecknas P(B|A).[2]

Detta motiveras med ett exempel:
Låt oss säga att vi har en påse med kulor: fyra röda och tre vita. Man ska dra slumpviss först en kula, sedan ytterligare en kula till. A = en händelse, "röda kula i första dragningen" och B = en händelse, "vit kula i andra dragningen". Sannolikheten för A betecknas P(A)=4/7.
Sannolikheten för B under betingelsen A är P(B|A)=1/2 eftersom om A har inträffat återstår sex kulor utav 3 är vita.

Bayes teorem är ett teorem som tilldelar hur sannolikheterna är föränderliga vid inträffande av ett nytt bevis. Den handlar om relativa sannolikheter, sannolikheter till påståenden som är avhängiga på beviset som bär dessa påståenden med sig. I vetenskapliga kontext gäller saken att visa hur ska tillskrivas sannolikheter till teorier eller till hypoteserna med användning av ett bevis. (Chalmers, 1999, s 175).

Bayesianska ansatsen utmärks av att det är orimligt att tillskriva NOLL sannolikhet till en väl beprövad teori. Därmed sökte de ett slags av ”induktiv inference” som ska utföra icke-noll sannolikheter till dem på så sätt så kan undvika de problem som induktiva argumentationerna för med sig. I boken t. ex. tar upp Chalmers ett exempel där vetenskapsmännen hade använt sig av Newtonska teorier. Denna teori har falsifierat ett antal gånger inom vetenskapen enligt Popperiansk uppskattning. Så, Bayesianer ville kunna visa hur och varför en höggradig sannolikhet kan vara tillskriven till Newtonsk teori när detta används för att kalkylera såsom himlakroppar, kometer.(Chamers, 1999)

Ett teorem är en matematisk sats; en sanning inom ett formellt system eventuellt under antagandet av vissa grundsatser. Ett teorem kan vara en logisk konsekvens av grundsatser. Med annat ord är teorem ett påstående som är sant under antagandet att grundsatserna är sanna. Mängden av alla teorem bildar en teori [3].

Fråga 1.1: Förklara Bayes teorem med ett exempel?
Svar 1.1: Bayes teorem (sats): P(h/e) = P(h).P(e/h)

P(e)

I Bayes teorem utgår man från händelser (orsaker) h som har okända sannolikheter på förhand (prior probability) som betecknas P(h).

Händelserna resulterar information som används som ett bevis i formeln e med kända betingade sannolikheter, P(e|h).Detta betecknar sannolikheten som är tillskriven för ett bevis på ett antaganden där hypotesen är felfri. Denna faktor kan ha 1 som ett högst värde om beviset (e) följer från hypotesen (h) och minsta värdet som 0 om det saknas beviset (e) som följer från hypotesen. När värdet är 1 det tas för givet att hypotesen (h) är antagen i anslutning till den tillgängliga bakgrund av erfarenhet eller information.

Med användning av formeln för betingade sannolikheter kan man beräkna sannolikheten för en given orsak när beviset e är känd. Detta kallas för sannolikhet på efterhand (posterior probability) och betecknas P(h|e).

Sannolikheten till beviset betecknas P(e) när det saknas antaganden om sanning för en hypotes.Denna formel visar hur sannolikheten ändras för en hypotes till ett nytt när ett nytt bevis tillkommer.

Exempel:
I en population består arbestkraften av 40% grundskolutbildning, 50% studentexamen och 10% högskolexamen. Arbetslösheten är 10% för grundskolutbildade, 5% för studentexaminerade och 2% för högskolexaminerade.
Om en person vääljs slumpviss inom populationen och är arbetslös, vilken är sannolikheten att han/hon har högskolexamen.

A=personer är arbetslös

G=personer har grundskolutbildning

H=personer har högskolexamen

S=personer har studentexamen

Sannolikheten på förhand för, då man inte vet ännu om den valda personen är arbetslös eller ej,att personen har högskolexamen är P(H)=0,10.

prior sannolikheter:           P(G)   =0,40      P(S)=0,50    P(H)   =0,10
betingade sannolikheter:   P(A|G)=0,10   P(A|S)=0,05   P(A|H)=0,02
P(A)                                                                      0,067

Bayes teorem är svaret till posterior sannolikhet för att personen har högskolexamen, efter när man får veta att den valda personen är arbetslös:
P(H/A) = P(H).P(A/H)
                        P(A)

             = 0,10 * 0,02
                        0,067
             = 0,030

Fråga 1.2: Bayesiansk slutledningsteori brukar beskylls för att vara subjektiv, varför?
Svar 1.2: Bayesiansk slutledningsteori beskylls för att vara subjektiv därför att bland all befintlig erfarenhet som måste beaktas finns naturligtvis den subjektiva uppfattningen av situationen. Följande exempel kan förklaras frågan: Vid ett underhållningsprogram utmanas publiken att delta i en tävling som går ut på att vinna en resa. Det finns tre rutor på tavlan; en resebiljett och två resekataloger bakom rutorna. Om det bakom den valda rutan finns en resebiljett då spelaren vinner en resa för två personer. De andra rutorna med resekataloger är som ett tröst pris. Tävlingsledaren leder programmet genom att öppna en av rutorna som har en resekatalog oavsett vilken ruta spelaren har pekat på från början. Då vid det här laget erbjuder han den tävlande att hålla fast vid sitt ursprungliga val eller byta och välja någon annan som är oöppnad. Vill bara förtydliga att spelaren inte får se det som finns bakom rutorna först efter sitt slutgiltiga beslut. Han/hon ser bara den som tävlingsledaren väljer på, vilket är alltid en resekatalog! Frågan är: kan den spelaren öka sin chans att vinna resan genom att byta ruta? Med Bayes teorem kan man visa att det beror på hur den tävlande subjektivt bedömer situationen. (Chalmers, 1999, s 177-179).

1)Om den tävlande uppfattar tävlingsledaren som en elak typ då naturligtvis han/hon förlorar sin chans till vinsten genom att byta ruta, då när han hade valt vinstrutan.
2)Om den tävlande tror att tävlingsledaren är en snäll typ och hans erbjudandet gäller om spelaren valt en resekatalog så vinner han/hon resan genom att byta rutan.
3)Om den tävlande tror att tävlingsledaren väljer rutan slumpmässigt utan att ha någon avsikt att hjälpa spelaren för att vinna, då spelar ingen roll om han/hon byter ruta eftersom chansen till den slutligt valda vinst rutan förblir densamma.

Fråga 1.3: Bayesianerna är oeniga sinsemellan ifrågan om sannolikheternas involvering och därför är de uppdelade i två divisioner: den ”objektiv” och ”subjektiv” bayesianer. Vad är det för argumentation som ”objektiv” bayesianer har till detta?
Svar 1.3: För de vetenskapsmän som söker en objektiv värdering på vetenskapen anses denna subjektiva övertygelse en missräkning för att förstå vetenskapliga resonemanger. Enligt ”objektiv” bayesianer sannolikheterna representerar sannolikheter som rationella föregångarna bör skänka till i ljuset av den objektiva situation. Chalmers förklarar detta med ett hästtrav exempel, när spelarna konfronteras med en lista över tävlande hästar utan att få ytterligare information om hästarna. Sedan beroende på några likgiltighets principer den enda rationella sättet för att tillskriva sannolikheter till rimlighet för varje hästs vinst är att distribuera sannolikheter jämt bland hästarna. När man väl har denna "objective" prior sannolikheten för att börja med då Bayess sats föreskriver hur sannolikheterna modifieras med hjälp av den nya beviset/fakta. Problemet för de "objektiva" bayesianer är frågan hur kan tillskrivas ett objektiv prior probabilities till hypoteserna.
Men subjektiv bayesian anhängarna påstår att den Bayesianska teorin grundar en objektiv teori för en vetenskaplig slutsats. Den givna prior probability i Bayess teorem föreskriver på ett objektivt sätt vad den nya sannolikheten, posterior probability, får vara utifrån det sista nya bevisets antagning i beräkningen för det nya. (Chalmers, 1999, s 178).

Fråga 1.4: Det verkar att det är ett hinder att anse att det är nödvändigt att bedöma rimligheten för ett bevis (e) i ljuset för alla hypoteser hellre än en hypotes, varför är detta ett hinder?
Svar 1.4: I Detta verkar att det är ett hinder eftersom ingen vetenskapsman kan befinna sig i ett läge att veta alla möjliga alternativen till en hypotes, speciellt om detta ska inkludera alla hypoteser som inte har uppfunnits än. Sannolikheterna i Bayesian kalkylering presenterar personliga sannolikheter, det vill säga sannolikheter som tillskriver olika antaganden. Så, värdet för sannolikheten till ett viss bevis för att bli sant i ljuset av alternativen till en hypotes beslutas av en vetenskapsman utifrån vad han vet om (vilket utesluter de hypoteser som är ej uppfunna än). (Chalmers, 1999, s 186-187)

Fråga 1.5: Visa genom ett exempel hur viktigt är det prior probability aspekten i Bayesian teori?
Svar 1.5: I Bayesian teori beräkningen av prior och posterior sannolikheterna är en viktig aspekt som sker på en bakgrund av antaganden som tas för givet. När man resonerar rationellt måste man ta med i beräkningen all information man har om situationen och liknande situationer i det förgångna. Sannolikheter kalkyleras mot den bakgrunden av den tänkbara kunskapen. Till exempel på vad sätt en explosionsmotor kan sluta att fungera vet oftast den som konstruerat den mycket bättre än vad en mängd tester och statistiska beräkningar kan leda till. Denna kunskap ska tas med i beräkningen. Popper kallade detta för kunskapsbakgrund. (Chalmers, 1999, s 176).

Fråga 1.6: Vad betyder det när det sägs att det inte finns ”rätt” sannolikhet?
Svar 1.6: I den bayesianska tolkningen ses sannolikheten för att en händelse ska inträffa som ett mått på hur troligt en person bedömer att händelsen kommer att inträffa. Sannolikheten för en händelse beror alltså på graden av information, vilket i sin tur gör att olika personer kan uppskatta olika sannolikheter för samma händelse. Detta synsätt innebär att det inte finns någon ’rätt’ sannolikhet utan att sannolikheten beror på vem som gör uppskattningen utifrån kunskapen och händelsen vid det angivna situation.(Chalmers, 1999, s 187-192).

Referenser:
Chalmers, A.F. (1999). What is this thing called science? Open University Press.
1) http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/bayesbiog.pdf
2) http://www.cim.mcgill.ca/~friggi/bayes/bayesrule/
3) http://www.all2know.com/sv/wikipedia/f/fo/formellt_system.html